TAUTOLOGI

Tujuan bab ini:

(1).  Mengevaluasi ekspresi-ekspresi logika dengan tabel kebenaran.
(2).  Membuktikan validitas suatu argumen dengan tabel kebenaran yang menghasilkan tautologi.
(3).  Mengevaluasi hasil evaluasi berupa validitas argumen yang bukan tautologi yakni kontradiksi dan contingent.
(4).  Memperkenalkan implikasi secara logis dan ekuivalensi secara logis.

BAB 1

5.1 PENDAHULUAN

Mengubah suatu argumen atau pernyataan-pernyataan menjadi suatu ekspresi logika, tentunya harus mengenali sub-subjek-expresinya seperti telah di bahas sebelumnya dalam bab mengenai proposisimajemuk. Salah satu cara yang diperkenalkan adalah teknik parsing dalam membentuk Parse Tree yang memudahkan pembentuk ekspresi logika khususnya yang membentuk proposisi majemuk.

Pembuktian validitas ekspresi-ekspresi logika dari suatu argumen dapat dilakukan dengan Tabel Kebenaran, yaitu terlebih dahulu memberi variabel proposisional pada setiap proposisi dari argumen tersebut dan kemudian membentuk proposisi majemuk untuk setiap pernyataan, dan kemudian mengevaluasi dengan tabel kebenaran.

5.2  MENGEVALUASI VALIDITAS ARGUMEN

Tabel kebenaran mempergunakan aturan-aturan untuk setiap perangkai seperti yang sudah di bahas pada bab tentang Tabel kebenaran di depan, dengan setiap pasangan nilai variabel proposisional yang dimungkinkan.

Sebelum mengevaluasi validitas suatu argumen, anda terlebih dahulu harus membentuk pernyataan-pernyataan menjadi ekspresi logika.

Contoh 5-1

l Jika Anda mengambil mata kuliah logika matematika, dan jika anda tidak memahami tautologi, maka anda tidak lulus.

Untuk membuktikan validitasnya, berilah variabel proposisional yang relevan, misal:

A = Anda mengambil mata kuliah logika matematika.
B = Anda memahami tautologi.
C = Anda lulus.

Dengan demikian, bentuk ekspresi logikanya berupa proposisi majemuk seperti berikut:

      (A˄¬B)→¬C

Selanjutnya, buatlah tabel kebenarannya dengan semua pasangan nilai A, B, dan C yang dimungkinkan.

A	B	C	¬B	¬C	A˄¬B	(A˄¬B)→¬C
F	F	F	T	T	F	T
F	F	T	T	F	F	T
F	T	F	F	T	F	T
F	T	T	F	F	F	T
T	F	F	T	T	T	T
T	F	T	T	F	T	F
T	T	F	F	T	F	F
T	T	T	F	F	F	T

Tabel kebenaran tersebut cukup besar karena membuat tabel kebenaran dengan seluruh nilai yang dimungkinkan mempunyai rumus: 2ᴺ. (N = jumlah variabelproposional). Jadi jika ada 3 variabel proposisional, yakni A, B, dan C, maka ada 2ᵌ= 8 pasangan yang mungkin dari proposisional A, B, dan, C.

Persoalan lain adalah membuat lebar kolom yang berbeda-beda untuk setiap tahap perhitungan nilai kebenaran dari ekspresi logika yang berupa proposisi majemuk yang panjang. Persoalan ini dapat disederhanakan dengan memakai skema, misalnya:

P = (A˄¬B)→¬C
Q = (A˄¬B)
R =¬B
S = ¬C

Selanjutnya, lebar kolom bisa diatur menjadi sama, tetapi jumlah baris masih tetap sesuai dengan jumlah pasangan yang mungkin dari setiap variabel proposisional.

Contoh 5-2
l Tidak belajar, tidak lulus.

Kalimat tersebut dalam logika proposisional harus dibaca lengkap, yakni:
l Jika Anda tidak belajar, maka Anda tidak lulus.

Jadi bentuknya sekarang terlihat, yakni “jika...maka...”. lalu proposisi diubah menjadi variabel proposisional:

A = Anda belajar.
B = Anda lulus.

Sehingga akan menjadi:
¬A→¬B

Contoh 5-3

l Barang-barang yang dibeli di toko ini dapat dikembalikan, hanya jika berada dalam kondisi yang baik, dan hanya jika pembeli membawa bukti pembeliannya.

Mengubah variabel menjadi variabel proposional:

A= Barang-barang dapat dikembalikan.
B = Barang-barang dalam kondisi baik.
C = Pembeli membawa bukti pembeliannya.

Jadi, ekspresi logikanya:
A→(B˄C)

Jadi, untuk membuat suatu pernyataan, dan nantinya juga pernyataan-pernyataan dalam suatu pernyataan-pernyataan dalam suatu argumen, dapat diubah menjadi ekspresi logika. Sebagai bantuan anda dapat menggunakan  heuristik (heuristic)berikut:

Heuristik untuk merubah pernyataan menjadi ekpresi logika: (1). Ambil pernyataan-pernyataan yang pendek, tanpa kata “dan”, “atau”, “jika..maka..”, “...jika dan hanya jika...”, pada pernyataan tersebut yang bisa dijawab benar atau salah. (2). Ubahlah pernyataan-pernyataan yang pendek tersebut dengan variabel-variabel proposisional. (3). Rangkailah variabel-variabel proposisional dengan perangkai yang relevan. (4). Bentuklah menjadi proposisi majemuk jika memungkinkan dengan memberi tanda kurung bisa yang tepat.

Lihat berikut ini pada sebuah pernyataan:
Contoh 5-4

l  Jika Badu belajar rajun dan sehat, maka Badu lulus ujian, atau jika Badu tidak belajar rajin dan tidak sehat, maka Badu tidak lulus ujian.

Ada beberapa langkah pengerjaan yang dilakukan yakni:

Langkah 1:
Menentukan proposisi-proposisi yang tepat

(1).  Badu belajar rajin.
(2).  Badu sehat.
(3).  Badu lulus ujian.

Langkah 2:
Mengganti proposisi dengan variabel proposisi

A = Badu belajar rajin.
B = Badu sehat.
C = Badu lulus ujian.

Langkah 3:
Perangkai yang relevan adalah implikasi (→), negasi (¬) dan “atau (˅)”.

Langkah 4:
Ubah menjadi ekspresi logika berupa proposisi majemuk:

                              ((A˄B)→C)˅((¬A˄¬B)→¬C)

Heuristik meruakan pedoman yang disarankan untuk mengerjakan sesuatu, tetapi tidak selalu harus diikuti. Dalam bahasa inggris Heuristik disebut rule of thumb.

Untuk suatu argumen yang terdiri dari banyak pertanyaan-pertayaan yang diikuti satu pernyataan berupa kesimpulan, maka validitasnya ditentukan dari hasil tabel kebenaran yang menyimpulkan bahwa premis-premis dari argumen harus benar sehingga kesimpulanyang di ambil dari premis-premis tersebut harus benar. Perhatikan bagian tentang Tautologi berikut ini.

5.3 TAUTOLOGI

Argumen yang dibuktikan validitasnya dengan tabel kebenaran harus menunjukkan nilai benar. Jika hasil benar, maka argumen valid, jika tidak maka sebaliknya. Jika pada tabel kebenaran untuk semua pasangan nilai variabel-variabel proposisional yang ada bernilai benar atau T, maka disebut tautologi (tautology).

Lihat ekspresi logika dari suatu pernyataan berikut ini:

Contoh 5-5
l  (A˄B)→(C˅(¬B→¬C))

Buatlah tabel kebenaran sebagai berikut:

C˅(¬B→¬C)

(A˄B)→(C˅(¬B→¬C))

A	B	C	¬B	¬C	A˄B	¬B→¬C
F	F	F	T	T	F	T	T	T
F	F	T	T	F	F	F	T	T
F	T	F	F	T	F	T	T	T
F	T	T	F	F	F	T	T	T
T	F	F	T	T	F	T	T	T
T	F	T	T	F	F	F	T	T
T	T	F	F	T	T	T	T	T
T	T	T	F	F	T	T	T	T

Gambar 5-2 Tabel kebenarandari (A˄B)→(C˅(¬B→¬C))
Jadi, ekspresi logika di atas adalahtautolog karena Ɨ ada tabel kebenaran semua pasangan menghasilkan nilai T.

Contoh 5-6
Buktikan : Apakah (A˅¬A] adalah tautologi?
Bukti       : Buatlah tabel kebenarannya:

A	¬A	A˅¬A
F	T	T
T	F	T

                                    Gambar 5-3 Tabel kebenaran dari A˅¬A

Jadi (A˅¬A) adalah tautologi, dan disebut dengan nama Excluaed Middle Law.

Contoh 5-7
Buktikan : ¬(A˄B)˅B adalah tautologi?
Bukti       : Buat tabel kebenarannya sebagai berikut:

A	B	A˄B	¬(A˄B)	¬(A˄B)˅B
F	F	F	T	T
F	T	F	T	T
T	F	F	T	T
T	T	T	F	T

     Gambar 5-4 Tabel kebenaran dari ¬(A˄B)˅B

Jadi, ekspresi diatas juga Tautoogi.

Tautologi juga dapat ditulis dengan simbol ╞ (suatu metasymbol, bukan perangkai logika) sehingga pada ekspresi logika di atas akan ditulis:

                              ╞ ¬(A˄B)˅B

Misalkan memakai skema P dan Q.
l.   Masukkan ke ekspresi logika pertama menjadi ¬(P˄Q)˅Q
ll.  Misalkan: P = ¬(A˄B), sedangkan Q = C, lalu masukkan ke ekspresi logika yang dibuktikan.   Maka :¬((A˄B)˄C)˅C akan menjadi ¬(P˄Q)˅Q
lll. Lihat (l) dan (ll) akan terlihat sama, jadi disebut tautologi.

Jika tautologi dipakai pada suatu argumen, berarti argumen harus mempunyai nilai T pada seluruh pasangan pada tabel kebenaran yang ada membuktikan argumen tadi valid atau kadang-kadang disebut argumen yang kuat(sound argument).

Seperti telah dibahas pada bab-bab sebelumnya, argumen berarti memiliki premis-premis dan mempunyai kesimpulan. Jika premis-premis benar, maka kesimpulan juga harus benar.

Lihat contoh pada argumen berikut

Contoh 5-9

l  Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kuliah.
diubah ke variabel proposisional:

A = Tono pergi kuliah.
B = Tini pergi kuliah.
C = Siska tidur.

Diubah menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan premis logika 3 adalah kesimpulan.

                              (1). A→B                                      (Premis)
                              (2). C→B                                       (Premis)
                              (3). (A˅C)→B                               (Kesimpulan)
Selanjutnya, dapat ditulis berikut:
((A→B)˄(C→B))→((A˅C)→B) atau {A→B, C→B} ╞  (A˅C)→B
setelah itu, buatlah tabel kebenaran dari ekspresi logika tersebut.

((A→B)˄(C→B))→((A˅C)→B)

A	B	C	A→B	C→B	(A→B)˄(C→B)	A˅C	(A˅C)→B
F	F	F	T	T	T	F	T	T
F	F	T	T	F	F	T	F	T
F	T	F	T	T	T	F	T	T
F	T	T	T	T	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F	T	F	T
T	F	T	F	F	F	T	F	T
T	T	F	T	T	T	T	T	T
T	T	T	T	T	T	T	T	T

 Gambar 5-5 Tabel kebenaran dari ((A→B)˄(C→B))→((A˅C)→B)

Jadi, jika tabel kebenaran menunjukkan hasil tautologi, maka argumen tersebut valid. Dalam logika, tautologi dapat ditulis T atau 1 saja. Jadi jika A = T atau A = 1

Definisi: Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya, disebut tautologi.

Sekarang perhatikan pembahasan mengenai kontradiksi dan continget pada pembuktianvaliditas argumen berikut ini.

5.4 KONTRADIKSI
Kebalikan dari tautologi, adalah kontradiksi (contradiction) atau absurditas (absurdities), yakni jika pada semua pasangan nilai dari tabel kebenaran menghasilkan nilai F. Lihat pada ekspresi logika berikut:

Contoh 5-10
l  A˄¬A

Tabel kebenarannya seperti berikut:

A	¬A	A˄¬A
F	T	F
T	F	F

               Gambar 5-6 Tabel kebenaran dari A˄¬A

Jadi, (A˄¬A) pada tabel kebenaran, semua bernilai  F sehingga disebut kontradiksi.

Definisi:  Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya, disebut kontradiksi.

Pada argumen, suatu kontradiksi dapat dijumpai jika antara premis-premis bernilai T, sedangkan kesimpulan bernilai F. Hal ini tentunya tidak mungkin terjadi, karena premis-premis yang benar harus menghasilkan kesimpulan benar. Dalam bahasa logika konjungsi dari semua premis-premis dengan negasi dari kesimpulan selalu bernilai F, dan terjadi kontradiksi. Negasi kesimpulan berarti memberi nilai F pada negasi kesimpulan. Lihat ekspresi logika berikut ini:

Contoh 5-11
l  ((A˅B) ˄¬A)˄¬B

Tabel kebenarannya seperti berikut:

((A˅B)˄¬A)˄¬B

A	B	¬A	¬B	(A˅B)	((A˅B)˄¬A)
F	F	T	T	F	F	F
F	T	T	F	T	T	F
T	F	F	T	T	F	F
T	T	F	F	T	F	F

Gambar 5-7 Tabel kebenaran dari ((A˅B)˄¬A)˄¬B

Jadi, ekspresi logika diatas terjadi kontradiksi. Dalam logika, kontradiksi dapat ditulis F atau 0 saja. Oleh karena itu, jika A adalah kontradiksi, maka A = F atau A = 0.

5.5 CONTINGENT
Jika pada semua nilai kebenaran menghasilkan nilai F dan T, disebut contingent atau formula campuran (mixed formulae).
Lihat contoh pada ekspresi logika berikut:

Contoh 5-12
l  ((A˄B)→C)→A

Tabel kebenarannya sebagai berikut:

((A˄B)→C)→A

A	B	C	A˄B	(A˄B)→C
F	F	F	F	T	F
F	F	T	F	T	F
F	T	F	F	T	F
F	T	T	F	T	F
T	F	F	F	T	T
T	F	T	F	T	T
T	T	F	T	F	T
T	T	T	T	T	T

Gambar 5-8 Tabel kebenaran dari ((A˄B)→C)→A

Definisi:  Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya, disebut contingent.

Perhatikan ekspresi logika berikut ini:
Contoh 5-13
l  ((A→B)˄(¬B→C))→(¬C→A)

Oleh karena itu, tabel kebenarannya sebagai berikut:

((A→B)˄(¬B→C))

((A→B)˄(¬B→C))→(¬ C→A)

A	B	C	¬B	¬C	A→B	¬B→C	¬C→A
F	F	F	T	T	T	F	F	F	T
F	F	T	T	F	T	T	T	T	T
F	T	F	F	T	T	T	F	T	F
F	T	T	F	F	T	T	T	T	T
T	F	F	T	T	F	F	T	F	T
T	F	T	T	F	F	T	T	F	T
T	T	F	F	T	T	T	T	T	T
T	T	T	F	F	T	T	T	T	T

Gambar 5-9 Tabel kebenaran dari ((A→B)˄(¬ B→C))→(¬ C→A)

Nilai-nilai kebenaran pada nilai kebenaran sebagai hasil akhir di tabel kebenaran tidak harus selalu berurutan antara F dan T, yang penting ada T dan ada F.

Argumen yang memiliki nilai kebenaran berada pada contingent harus memilah nilai-nilai kebenarannya hanya pada T. Perhatikan bahwa masih ada premis-premis yang T dan F, tetapi kesimpulan T, sehingga nilai kebenarannya T. Ingat bahwa (F→T = T). Pada kasus ini argumen tetap dianggap tidak valid karena bukan tautologi, atau apa saja asal bukan tautologi dianggap tidak valid.

Pada masalah tentang tautologi terdapat istilah yang penting, yakni ekuivalen secara logis (logically equivalence)

5.6  PEMANFAATAN TAUTOLOGI

Ada beberapa hal penting yang diakibatkan oleh tautologi, yakni:
(1). Implikasi secara logis (logical equivalence). Misalnya, A dan B adalah dua buahekspresi logika, maka jika dikatakan A secara logis mengimplementasikan B dapat ditulis dengan: AÞB
(2). Ekuivalen secara logis (logical equivalence). Misalnya, A dan B adalah dua buah ekspresi logika, maka jika dikatakan A ekuivalen secara logis dengan B, dapat ditulis dengan: A= B.
Di sini disyaratkan A= B, jika dan hanya jika A↔B adalah tautologi.

Implikasi secara logis dan ekuivalen secara logis menimbulkan hukum-hukum pada logika proposisional dan berperan penting pada masalah penyederhanaan dan berbagai pembuktian validitas argumen yang tidak memakai tabel kebenaran.

Sejarah singkat: Sir William Hamilton (1788-1856) Sir William Hamilton adalah filsuf dari Skotlandia. Lahir di Giasgow, Skoylandia. Belajar di Glasgow dan University of Oxford. Ialah yang memperkenalkan pemikiran filsuf jerman Immanuel Kant ke negara Inggris. Minatnya adalah di bidang hukum, fisiologi, dan sastra.       Ia juga profesor di bidang sejarah dan filosofi di University of Edingburg. Hamilton juga membantu mengembangkan Scottish School of Metaphysics. Makalahnya yang berjudul philosophy of the Uncontionedtahun 1829 yang dipublikasikan oleh Edinburg Review mengkritik pendapat Cousin di Cours de philosophe. Dalam makalah tersebut, Hamilton juga menafsirkan filsafat Kant. Makalah tersebut membuat Hamilton memperoleh pengakuan di Edinburg Chair of Logie and Metaphysics di tahun 1836.        Di bidang logika ia memperkenalkan “pengkuantoran predikat (quantify the predicate)” yang kemudian dikembangkanmenjadi logika predikat. Para ahli Inggris memandang pendapatnya dipengaruhi oleh filsuf Jerman dan Aristoteles.         Anaknya, Francis, memublikasikan makalahnya Lectures on Metaphysics and logieyang disunting oleh H.L. Mansel dan John Veitch, 4 jilid, 1859-1860, dan diterbitkan ulang 1969.

Perhatikan pula bahwa jika ditulis A= B, maka sebenarnya dapat ditulis AÞB dan pada saat yang bersamaan BÞA. Hal ini menyebabkan setiap ekuivalen secara logis dapat diambil dari dua implikasi logis, misalnya PÞQ dan pada saat yang sama QÞP, maka dapat ditulis P=Q.

Perlu diperhatikan mengenai penggunaan istilah implikasi karena ada dua jenis implikasi yakni:

(1).  Implikasi material (material implication), contoh: A→B Di sini berlaku aturan tabel kebenaran       untukimplikasi.
(2).  Implikasi logis (logical implication, contoh: AÞB

Di sini secara mudah dapat dibaca ‘menyebabkan’, sebagai contoh jika A=T, maka A pasti tautologi, dan jika FÞA, maka A pasti kontradiksi.

Ringkasan Bab ini

(1). Tabel kebenaran dari ekspresi-ekspresi logika yang berupa proposisi majemuk dan dari suatu pernyataan dan argumen dibuat berdasarkan tabel kebenaran untuk setiap perangkai.
(2). Tabel kebenaran dapat menunjukkan hasil tautologi, jika nilai kebenaran yang dihasilkan semuanya T, dan kontradiksi jika semua F, sedangkan contingent jika ada T dan ada F.
(3). Argumen yang terbukti tautologi dianggap valid, sedangkan yang bukan (kontradiksi dan contingent)dianggap tidak valid

(4). Tautologi menyebabkan timbulnya implikasi secara logis dan ekuivalen secara logis dan hal ini penting hukum-hukum logika.

LATIHAN SOAL-SOAL

SOAL 1
Tentukan apakah dari ekspresi-ekspresi logika berikut ini termasuk tautologi, kontradiksi, atau contingent.
(1). A→(B→A)
(2). (B→A)→A
(3). ¬¬A→A
(4). (¬A→¬B)→(B→A)
(5). (A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
(6). (A˄(A→B))→B
(7). ((A→B)↔(¬A˅B)
(8). ((A→B)˄(B→C))→(A→C)
(9). ((A↔B)↔((A˄B)˅(¬A˄¬B))
(10). (B˄(A→B))→A
(11).  ¬(A˅(B˄C))↔((A˅B)˄(A˅C))
(12).  (¬A→¬B)˄(¬¬A→¬B)→B

SOAL 2
Jika (A˅¬A) adalah tautologi, buktikan bahwa ekspresi-ekspresi logika berikut ini adalah tautologi.

(1).  (A→B)˅¬(A→B)
(2).  ¬A˅¬¬A
(3).  ((A˄C)˅B)˅¬((A˄C)˅B)

SOAL 3
Buktikan hukum-hukum logika yakni:

(1).  Silogisme Hipotetis
(2).  Silogisme Disjungtif
(3).  Modus Ponens
(4).  Modus Tollens
     adalah tautologi dengan tabel kebenaran

SOAL 4

Perhatikan dengan saksama argumen (disebut: destructive dilemma) berikut ini:
       Jika Badu senang, maka Siti senang, dan jika Badu sedih, maka Siti sedih. Siti tidak senang atau    Siti tidak sedih . dengan demikian, Badu tidak senang atau Badu tidak sedih.

Buatlah ekspresi logikanya dan buktikan apakah termasuk tautologi, kontradiksi, atau contingent dengan tabel kebenaran?