SIFAT-SIFAT RELASI

1.      Refleksif (reflexife)

     Relasi yang bersifat refleksif adalah Relasi R pada himpunan A jika (a,a) R untuk setiap a  A. Yakni bahwa di dalam relasi refleksif setiap elemen di dalam A berhubungan dengan dirinya sendiri. Relasi R pada himpunan A tidak refleksif tidak refleksif jika ada a  A sedemikian sehingga (a, a)  R.

Contoh:

Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka:

a.       Relasi R = {(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4)} bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a,a) yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)

b.      Relasi R = {(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)} tidak bersifat refleksif karena (3,3)  R.

2.      Setangkup (symetric) dan Tolak-setangkup (antisymetric)

     Relasi R pada himpunan A dikatakan setangkup jika (a,b)  R, maka (b,a)  R, untuk semua a,b  A. Yakni, menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak setangkup  jika (a,b)  R sedemikian sehingga (a, b)  R.

    

Relasi R pada himpunan A dikatakan tolak-setangkup jika jika (a,b)  R, dan (b,a)  R, maka a=b, untuk semua a,b  A. Yakni menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak tolak setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,b)  R, dan (b,a)  R.

Contoh:

Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka:

a.       Relasi R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,4), (4,2), (4,4)} bersifat setangkup karena jika (a,b)  R maka (b,a) juga  R. Disini (1,2) dan (2,1)  R begitu juga (2,4) dan (4,2)  R.

b.      Relasi R = {(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)} tidak setangkup karena (2,3)  R, tetapi (3,2)  R.

c.       Relasi R = {(1,1), (2,2), (3,3)} tolak-setangkup karena (1,1)  R dan 1=1, (2,2)  R dan 2 = 2, (3,3)  R dan 3 = 3.

3.      Menghantar (transitive)

     Relasi R pada himpunan A dikatakan setangkup jika (a,b)  R dan (b,c)  R maka (a,c)  R, untuk semua a,b,c  A.

Contoh :

Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka:

a.       Relasi R = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2) , (4,3)} bersifat menghantar. Periksa dengan membuat tabl dibawah ini:

Pasangan berbentuk

            (a,b)     (b,c)     (a,c)

            (3,2)     (2,1)     (3,1)

            (4,2)     (2,1)     (4,1)

            (4,3)     (3,1)     (4,1)

            (4,3)     (3,2)     (4,2)

b.      Relasi R = {(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)} tidak menghantar karena (2,4) dan (4,2)  R tetapi (2,2)  R, begitu juga (4,2) dan (2,3)  R tetapi (4,3)  R.

RELASI EKIVALEN

     Relasi ekivalen digunakan untuk merelasikan obyek-obyek yang memiliki kemiripan dalam suatu hal tertentu. Suatu  relasi pada himpunan A dikatakan sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris, dan transitif.

Dua anggota A yang berelasi oleh suatu relasi ekivalen dikatakan ekivalen.

Contoh:

a.       Diketahui A = {1,2,3}.

Pada A didefinisikan relasi R1 = {(1,1),(1,2),(2,2),(2,1),(3,3)}

JAWAB:

-          Relasi R1 bersifat refleksif = {(1,1),(2,2),(3,3)}

-          Relasi R1 bersifat simetris = {(1,2),(2,1)}

-          Relasi R1 bersifat transitif = {(1,2)(2,1),(1,1)}

Maka A adalah relasi ekivalen.

b.      Diketahui B = {2,4,5}.

Pada B didefinisikan relasi R2 = {(x,y)│x kelipatan y,x,y  B}

JAWAB:

Maka R2 = {(2,2),(4,4),(5,5),(4,2)}.

-          Bersifat Refleksi = (2,2),(4,4),(4,2)

-          Tidak Bersifat Simetris = (4,2) tidak ada (2,4)

-          Tidak Bersifat transitif

Relasi R2 tersebut tidak bersifat simetris ,oleh karena itu relasi tersebut bukan relasi ekivalen.

loading...